题目

如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（　　） A． B． C． D．﹣2 答案：A【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长， 连接MN，过M点作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得tan∠MCN． 【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4， 连接MN，连接AC， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60° 在Rt△ABC与Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL） ∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC， ∴BC=AC， ∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2， 3BC2=AB2， ∴BC=2， 在Rt△BMC中，CM===2． ∵AN=AM，∠MAN=60°， ∴△MAN是等边三角形， ∴MN=AM=AN=2， 过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2﹣x， ∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2， 解得：x=， ∴EC=2﹣=， ∴ME==， ∴tan∠MCN== 故选：A． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

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