题目

(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E1OF1(如图2)．(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形． 答案：解：(1)AE1＝BF1，证明如下：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD，∴OE＝OF ∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，∴OE1＝OF1。              ∵∠AOB＝∠EOF＝900，∴∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB                                       OE1＝OF1在△E1OA和△F1OB中， ∠E1OA＝∠F1OB，∴△E1OA≌△F1OB （SAS）                                       OA＝OB                      ∴AE1＝BF1。 (2)取OE1中点G，连接AG。∵∠AOD＝900，＝30° ，∴∠E1OA＝900－＝60°。∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°。∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°。∴∠E1AO＝90°。∴△AOE1为直角三角形。解析:略

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