题目

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l： 3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 答案：解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.① 当x＝时，y＝f(x)有极值， 则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝－4. 由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4， ∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5. ∴a＝2，b＝－4，c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， ∴f′(x)＝3x2＋4x－4， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 当x变化时，y、y′的取值及变化如下表： x －3 (－3，－2) －2 1 y′   ＋ 0 － 0 ＋ y 8 单调递增↗ 13 单调递减↘ 单调递增↗ 4 ∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.

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