题目

（本小题满分12分） 已知椭圆方程为，P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合． （Ⅰ）求M点的轨迹T的方程； （Ⅱ）已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 答案：（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连结OM， ∵,  ∴≌ ∴M是线段的中点，|， ∴ = == ∵点P在椭圆上 ∴＝    ∴＝4， 当点P在x轴上时，M与P重合 ∴M点的轨迹T的方程为：． （Ⅱ）连结OE，易知轨迹T上有两个点 A，B满足, 分别过A、B作直线OE的两条平行线、. ∵同底等高的两个三角形的面积相等 ∴符合条件的点均在直线、上. ∵   ∴直线、的方程分别为： 、 设点 （ ）∵在轨迹T内，∴ 分别解与，得 与 ∵∴为偶数，在上对应的 在上，对应的 ∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为： ．

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