题目

（08年惠州一中五模理）如图，棱锥P―ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P―CD―B的大小；（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.    答案：方法一：证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.                     ∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA .                       又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC.                  解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P―CD―B的平面角.                       又∵PA=AD，∴∠PDA=450 .                                                        （Ⅲ）∵PA=AB=AD=2∴PB=PD=BD= 设C到面PBD的距离为d，由，有，                               即，得          方法二：证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴   ∵即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.                        解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得. 设平面PCD的法向量为，则，即，∴故平面PCD的法向量可取为                               ∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.              设二面角P―CD―B的大小为q，依题意可得，∴q = 450 .                                                       （Ⅲ）由（Ⅰ）得设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z故平面PBD的法向量可取为.                              ∵，∴C到面PBD的距离为    

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