题目

已知函数f(x)在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f(ax)=af(x).（1）证明:f(0)=0；（2）证明f(x)=其中k和h均为常数；（3）当（2）中的k＞0时，设g(x)=+f(x)(x＞0)，讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值. 答案：(1)证明:对于任意的a＞0，x∈R,均有f(ax)=af(x)，①在①中取a=2,x=0，即得f（0）=2f（0）.∴f(0)=0.②(2)证明：当x＞0时,由①得f（x）=f（x·1）=xf（1）.取k=f（1），则有f（x）=kx,③当x＜0时，由①得f(x)=f［(-x)·(-1)］=(-x)f(-1).取h=-f(-1),则有f(x)=hx，④综合②③④得f(x)=(3)解:解法1：由（2）中的③知当x＞0时，g(x)=+kx,从而g′(x)=-+k=,x＞0.又因为k＞0,由此可得X(0,)(,+∞)g′(x)-0+g(x)极小值2所以g（x）在区间（0，）内单调递减，在区间（，+∞）,内单调递增，在x=处取得极小值2.解法2：由（2）中的③知当x＞0时，g(x)=+kx.设x1、x2∈(0,+∞),且x1＜x2,则g(x2)-g(x1)=(k2x1x2-1).又因为k＞0,所以①当0＜x1＜x2＜时，g(x2)＜g(x1);②当0＜＜x1＜x2时，g(x2)＞g(x1).所以g(x)在区间(0, )内单调递减，在区间(,+∞)内单调递增，在x=处取得极小值2.

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