题目

（本小题满分12分） 已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2． （I）求线段中点的轨迹的方程； （II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，试求出直线l的斜率的取值范围，并证明：｜PR｜＝｜QS｜。 答案：解：（I）由题可设，，，其中. 则        1分    ∵的面积为定值2， ∴.                 2分 ，消去，得：．                  4分 由于，∴，所以点的轨迹方程为（）．    5分 （II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为． 由消去得：，                    设点、、、的横坐标分别是、、、， ∴由得   6分 解之得：． 8分 由消去得：，由消去得：，   （10分） ∴.    又PQ的中点的横坐标为    所以RS的中点与PQ的中点重合，故｜PR｜＝｜QS｜                        12分

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