题目

如图15，在Rt△ABC中，，CP平分∠ACB，CP与AB交于点D，且 PA=PB．【小题1】请你过点P分别向AC、BC作垂线，垂足分别为点E、F，并判断四边形PECF的形状【小题2】求证：△PAB为等腰直角三角形【小题3】设，，试用、的代数式表示的周长；【小题4】试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，请直接写出这个不变的值，若变化，试说明理由 答案：【小题1】过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足分别为E、F（如图4）    …………1分∵∠ACB=90°又由作图可知PE⊥AC、PF⊥CB，∴四边形PECF是矩形，又∵点P在∠ACB的角平分线上，且PE⊥AC、PF⊥CB，∴PE=PF，∴四边形PECF是正方形．                                …………2分【小题2】证明：在Rt△AEP和Rt△BFP中，∵PE=PF，PA=PB，∠AEP=∠BFP= 90°，∴Rt△AEP≌Rt△BFP．∴∠APE=∠BPF．∵∠EPF= 90°，从而∠APB= 90°．又因为PA=PB，∴△PAB是等腰直角三角形．               …………5分【小题3】如图4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，∴AB=PA= ．                                       …………6分由（2）中的证明过程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，所以，在正方形PECF中，CE=PC=n．∴CA+CB=2CE=．所以△ABC的周长为：AB+BC+CA=+【小题4】不变， ．                                  …………9分【参考证明：如图4，∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，∴△ADC∽△PDB，故，即 ，……①同理可得，△CDB∽△ADP，得到 ，   ……②又PA=PB，则①+②得：===．所以，这个值仍不变为．】解析:（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）利用三角形全等证得等腰直角三角形

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