题目

如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=，(Ⅰ)求证：AO⊥平面BCD；(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的大小；(Ⅲ)求点E到平面ACD的距离． 答案：解：方法一：(Ⅰ)证明：连接OC∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=．而AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD(Ⅱ)提示：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在△OME中，EM=AB=,OE=DC=1，∵OM是直角斜边AC上的中线，∴OM=AC=1，∴cos∠OEM=，∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos．(Ⅲ)提示：设点E到平面ACD的距离为h．∵VE-ACD=VA-CDE，∴h·S△ACD=AO·S△CDE.在△ACD中，CA=CD=2,AD=，∴S△ACD=.而AO=1，S△CDE=,∴h=．∴点E到平面ACD的距离为．方法二：(1)同方法一．(Ⅱ)提示：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)E(0)，=(-1，0，1)，=(-1，-，0)．∴cos＜＞=，∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.(Ⅲ)提示：设平面ACD的法向量为n=(x，y，z)，则∴令y=1，得n=()是平面ACD的一个法向量．又=(，0)，∴点E到平面ACD的距离h=．

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