题目

已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D． （1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论； （2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数． 答案：答：（1）AD=A′D． 证明：如图1， ∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC， ∴BC=BC′，BA=BA′． ∵∠A′BC′=∠ABC=60°， ∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形． ∴∠BAA′=∠BC′C=60°． ∵∠A′C′B=90°， ∴∠DC′A′=30°． ∵∠AC′D=∠BC′C=60°， ∴∠ADC′=60°． ∴∠DA′C′=30°． ∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′． ∴AD=DC′，DC′=DA′． ∴AD=A′D． （2）AD=A′D 证明：连接BD，如图2， 由旋转可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′． ∴=． ∴△BCC′∽△BAA′． ∴∠BCC′=∠BAA′． ∵∠BOC=∠DOA， ∴△BOC∽△DOA． ∴∠ADO=∠OBC，=． ∵∠BOD=∠COA， ∴△BOD∽△COA． ∴∠BDO=∠CAO． ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90°． ∴∠BDO+∠ADO=90°，即∠ADB=90°． ∵BA=BA′，∠ADB=90°， ∴AD=A′D． （3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3， 则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°． 在Rt△ACB和Rt△AC′B中， ． ∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）． ∴∠ABC=∠ABC′=60°． ∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．

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