题目

已知函数的图象过点，且在内单调递减，在上单调递增. （1）求的解析式； （2）若对于任意的，不等式恒成立，试问这样的是否存在.若存在，请求出的范围，若不存在，说明理由 答案：解： （1）∵， 由题设可知：即sinθ≥1    ∴sinθ=1.     从而a= ,∴f(x)= x3+x2－2x+c,而又由f(1)= 得c=. ∴f(x)= x3+x2－2x+即为所求.                             (2)由=（x+2）（x－1），易知f(x)在(－∞,－2)及(1,+∞)上均为增函数，在(－2,1)上为减函数.          ①当m＞1时，f(x)在[m,m+3]上递增,故f(x)max=f(m+3), f(x)min=f(m) 由f(m+3)－f(m)= (m+3)3+(m+3)2－2(m+3)－m3－m2+2m=3m2+12m+≤， 得－5≤m≤1.这与条件矛盾，故 不存在.                ② 当0≤m≤1时，f(x)在[m,1]上递增, 在[1,m+3]上递增 ∴f(x)min=f(1), f(x)max=max{ f(m),f(m+3) }, 又f(m+3)－f(m)= 3m2+12m+=3(m+2)2－＞0(0≤m≤1)∴f(x)max= f(m+3)∴|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min= f(m+3)－f(1)≤f(4)－f(1)= 恒成立.  故当0≤m≤1时，原不等式恒成立.综上，存在m且m∈[0,1]合题意.

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