题目

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． (1)求抛物线C的方程； (2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 答案：解析：(1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy，由＝结合c＞0，解得c＝1. 所以抛物线C的方程为x2＝4y. (2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x. 设A(x1，y1)，B(x2，y2) 则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2， 所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0. 同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0. 因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－0，x2x0－2y0－2y2＝0， 所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解． 所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0. (3) 由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1， 所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1. 联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0. 由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y， 所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1. 又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2， 所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝22＋， 所以当y0＝－时， |AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.

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