题目

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，S6＝22. (1)求Sn的表达式； (2)若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{akn}，其中k1＝1，且k1<k2<…<kn(kn∈N*)． ①当q取最小值时，求{kn}的通项公式； ②若关于n(n∈N*)的不等式6Sn>kn＋1有解，试求q的值． 答案：(1)设等差数列的公差为d，则S6＝6a1＋×6×5d＝22，解得d＝， 所以Sn＝. (2)①因为数列{an}是正项递增等差数列，所以数列{akn}的公比q>1， 若k2＝2，则由a2＝，得q＝＝， 此时ak3＝2·2＝， 由＝(n＋2)， 解得n＝∉N*，所以k2>2，同理k2>3； 若k2＝4，则由a4＝4，得q＝2，此时akn＝2·2n－1，另一方面，akn＝(kn＋2)，所以(kn＋2)＝2n，即kn＝3×2n－1－2， 所以对任何正整数n，akn是数列{an}的第3·2n－1－2项． 所以最小的公比q＝2. 所以kn＝3·2n－1－2. ②因为akn＝＝2qn－1，得kn＝3qn－1－2，而q>1， 所以当q>1且q∈N时，所有的kn＝3qn－1－2均为正整数，适合题意； 当q>1且q∉N时，kn＝3qn－1－2∈N不全是正整数，不合题意． 而6Sn>kn＋1有解，所以>1有解，经检验，当q＝2，q＝3，q＝4时，n＝1都是>1的解，适合题意； 下面证当q≥5时，>1无解， 设bn＝ 则bn＋1－bn＝ 因为所以f(n)＝2[(1－q)n2＋(7－5q)n＋7－q]在n∈N*上递减， 又因为f(1)<0，所以f(n)<0恒成立，所以bn＋1－bn<0，所以bn≤b1恒成立， 又因为当q≥5时，b1<1，所以当q≥5时，6Sn>kn＋1无解． 综上所述，q的取值为2,3,4.

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