题目

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。 （1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若，求的取值范围； （3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个果圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。 答案： 解：（1） ， ，     于是，所求“果圆”方程为     ，．                     （2）由题意，得  ，即．          ，，得．        又．  ．                                                  （3）设“果圆”的方程为，．     记平行弦的斜率为． 当时，直线与半椭圆的交点是 ，与半椭圆的交点是．  的中点满足   得 ．        ， ．     综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．      当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．       由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．                                                             当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

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