题目

已知过点A(0，1)、B(4，a)且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及所对应的圆的方程. 答案：分析：解析几何的学科特点是将几何问题转化为方程性质的研究，特别是二次方程性质的研究，本例可利用方程思想来求解. 解析：设所求圆的圆心为(m,n)，由所求圆与x轴相切，可设圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=n2.由A(0，1)、B(4，0)在圆上，得方程组消去n可得关于m的方程(1-a)m2-8m+(a2-a+16)=0.③方程③有唯一解，这有两种情况：(1)方程③为一次方程，有a=1，从而m=2,代入①得n=,对应圆方程为(x-2)2+(y-)2=.(2)方程③为二次方程，则有Δ=a［(a-1)2+16］=0.得a=0,从而m=4,代入①得n=,对应圆方程为(x-4)2+(y-)2=;综上可知，所求a的值为1或0.a=1时，对应的圆方程为(x-2)2+(y-)2=;a=0时，对应的圆方程为(x-4)2+(y-)2=;

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