题目

如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.(1)求证：AD⊥D1F;(2)求AE与D1F所成角的大小;(3)求证:平面AED⊥平面A1FD1. 答案：解：设正方体的棱长为1，且设=i,    =j,=k,建立空间直角坐标系A—xyz.如右图，(1)因为D(0,1,0),F(,1,0),D1(0,1,1),所以=（0，1，0），=（，0，-1）.所以=0+0+0=0.所以⊥.所以AD⊥D1F.(2)因为E(1,0,),所以=(1,0,).所以·=-=0.所以⊥，所以AE与D1F所成角为90°.(3)因为·=（0，1，0）·（，0，-1）=0，所以AD⊥D1F.所以AD⊥D1F.又因为AE⊥D1F,AD∩AE=A,所以D1F⊥平面AED,又D1F平面A1FD1,所以平面AED⊥平面A1FD1.

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