题目

已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是，且双曲线过点.    （1）求此双曲线的方程；    （2）设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否存在唯一一点，使得. 若存在，求出对应的值和的坐标；若不存在，说明理由. 答案： 解：（1）设双曲线的方程为，将点代入可得，     双曲线的方程为.    （2）依题意，直线 的方程为 .设是双曲线右支上满足         的点，结合 ，得， 即点到直线的距离                    ①若，则直线与双曲线的右支相交，此时双曲线的右支上有两个点到直线的距离为1，与题意矛盾； ②若，则直线在双曲线右支的上方，故，从而 . 又因为 ，所以 . 当时，方程有唯一解 ，则； 当时，由得 ，此时方程有唯一解 ，则 综上所述，符合条件的值有两个：，此时；，此时.

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