题目

已知函数和函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　） A．    B．[1，2）  C． D． 　 　 答案：    C． 【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】根据已知函数f（x）的定义域，求出其值域，对于g（x）利用导数求出其值域，已知存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），可知g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值； 【解答】解：函数， 当＜x≤1时，f（x）=，f′（x）==＞0， f（x）为增函数，∴f（）＜f（x）≤f（1）， ∴f（x）∈（，]； 当0≤x≤时，f（x）=﹣x+，为减函数， ∴f（）≤f（x）≤f（0）， ∴f（x）∈[0，]， 综上：f（x）∈[0，]； 函数，g′（x）=，0≤≤， ∴g′（x）＞0； g（x）为增函数，g（0）≤g（x）≤g（1）， ∴g（x）=[1﹣a，1﹣]， ∵存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立， ∴g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值， ∴解得≤a≤2， 故选C； 【点评】此题主要考查函数的存在性问题，一般与恒成立问题一个类型，知识点比较全面，是一道中档题，也是一道好题；

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