题目

在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，等边三角形OAB的一个顶点为A（2，0），另一个顶点B在第一象限内。 （1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式； （2）如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形，那么我们称这样的四边形为“筝形”。点Q在（1）的抛物线上，且以O、A、B、Q为顶点的四边形是“筝形，求点Q的坐标； （3）设△OAB的外接圆⊙M，试判断（2）中的点Q与⊙M的位置关系，并通过计算说明理由。 答案：解：过B作BC⊥x轴于C. ∵ 等边三角形的一个顶点为， ∴ OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°. ∴ BC=. ∴ B       ……………..1分 设经过O、A、B三点的抛物线的 解析式为：. 将A（2，0）代入得：， 解得. ∴经过O、A、B三点的抛物线的解析式为 . 即.   …………………..2分 （2）依题意分为三种情况： （ⅰ） 当以OA、OB为边时， ∵ OA=OB， ∴ 过O作OQ⊥AB交抛物线于Q. 则四边形OAQB是筝形，且∠QOA=30°.      作QD⊥轴于D，QD=OD, 设Q，则. 解得：. ∴Q.                           …………..2分 （ⅱ） 当以OA、AB为边时，由对称性可知Q .    …………..1分 （ⅲ） 当以OB、AB为边时，抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形.……..1分 ∴Q或. （3）点Q在内. 由等边三角形性质可知的外接圆圆心是（2）中BC与OQ的交点， 当Q时， ∵MC∥QD, ∴△OMC∽△OQD. ∴. ∴. ∴ . ∴ =. 又, ∵<, ∴Q在⊙M内.                               ……………..2分 当Q时，由对称性可知点Q在⊙M内. 综述，点Q在⊙M内.                                 ……………..1分

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