题目

已知数列的前项和为，且满足，，其中常数． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的通项公式； （3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与 之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列 的前m项的和?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由. 答案：解：（1）∵，∴，∴， ∴，∴，       ……………………4分 ∵，∴，∴ ∴，∴数列为等比数列． （2）由（1）知，∴           ………………8分 又∵，∴，∴，∴       ………………10分 （3）由（2）得，即，    数列中，（含项）前的所有项的和是：    …………………12分 当k=10 时，其和是 当k=11 时，其和是 又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数       ………………………………14分 所以当时，， 所以存在m=988使得              ……………………………………16分

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