题目

设函数f(x)的定义域、值域均为R，f(x)的反函数为f-1(x)，且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜x.定义数列{aN}:a0=8,a1=10,aN=f(an-1),N=1,2….(1)求证:an+1 +an-1＜aN(N=1,2…).(2)设bN=an+1-2aN,N=0,1,2,….求证: bN＜(-6)()n(N∈N*).(3)是否存在常数A和B,同时满足:①当N=0及N=1时,有an=成立；      ②当N=2，3…时，有an＜成立.如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论. 答案：证明：(1) ∵f(x)+f-1(x)＜x,令x=an,∴f(an)+ f-1(an)＜an,即an+1＋an-1＜an.(2)证明：∵an+1＜an-an-1,∴an+1-2an＜(an-2an-1),即bn＜bn-1.∵b0=a1-2a0=-6,∴bn＜()nb0=(-6)()n(n∈N*).(3)解:由(2)可知an+1＜2an+(-6)()n.假设存在常数A和B，使得an=对n=0,1成立，则解得A=B=4.下面用数字归纳法证明an=对一切n≥2,n∈N成立.①当n=2时，由an+1+an-1＜an得a2＜a1-a0=×10-8=17=.∴n=2时，an＜成立.②假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即ak＜,则ak+1＜2ak+(-6)()k＜2×+(-6)()k=.这说明n=k+1时，不等式成立.综合①②，可知an＜对一切n≥2,n∈N成立.∴A=B=4满足题设.

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