题目

求（x+-1）5展开式中的常数项. 答案：解法一:∵（x+-1）5=［(x+)-1］5，∴通项为Tr+1=(x+)5-r(-1)r(0≤r≤5).当r=5时，T6=(-1)5=-1；当0≤r＜5时，(x+)5-r的通项为Tk+1‘=x5-r-k()k=x5-r-2k(0≤k≤5-r).∵0≤r＜5且r∈Z，∴r只能取1或3，相应的k值分别为2或1.∴常数项为(-1)+(-1)3+(-1)=-51.解法二:由于本题只有5次，也可以直接展开，即［(x+)-1］5=(x+)5-5(x+)4+10(x+)3-10(x+)2+5(x+)-1.由x+的对称性知只有在x+的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，∴常数项为-5-10-1=-51.解法三:(x+-1)5=(x+-1)(x+-1)(x+-1)(x+-1)(x+-1).按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取-1相乘为(-1)5；或从五个因式中选定一因式取x，一因式取，另三个因式中取(-1)，为(-1)3;或从五个因式某两因式中取x，另两因式中取，余下一个因式中取-1，得式为(-1).所以常数项为(-1)5+(-1)3+(-1)=-51.

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