题目

如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E． ⑴求A、B、C三个点的坐标． ⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN． ①求证：AN=BM． ②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值. x   答案：解：⑴令， 解得：，               ∴A(－1，0)，B(3，0)···························· 2分 ∵=， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， 将x=1代入，得y=2， ∴C（1，2）.  ································· 3分 ⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=， ∴∠CAE=60º， 由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线， ∴AC=BC， ∴△ABC为等边三角形，  ∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60º， 又∵AM=AP，BN=BP， ∴BN = CM，        ∴△ABN≌△BCM，                 ∴AN=BM.     ②四边形AMNB的面积有最小值．    设AP=m，四边形AMNB的面积为S， 由①可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，S△ABC=×42=， ∴CM=BN= BP=4－m，CN=m，              过M作MF⊥BC,垂足为F, 则MF=MC•sin60º=， ∴S△CMN==•=，······················· 7分 ∴S=S△ABC－S△CMN =－（） =    ∴m=2时，S取得最小值3.

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