题目

已知函数. ⑴求函数的单调区间； ⑵若函数有3个不同零点，求实数的取值范围； ⑶若在的定义域内存在，使得不等式能成立，求实数 的最大值。 答案：解：⑴因为函数的定义域为 ,      ………1分 令得      ………………2分 当时，, 当时，    所以的单调递增区间是,单调递减区间是 ……………5分 ⑵函数有3个不同零点等价于函数的图象与直线有三个不同交点  ……………6分  由⑴知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时， 所以的极大值为，极小值为   …………7分 因为 ,    ……………8分 函数的草图如下： 所以当且仅当时,在的三个单调区间中，直线和的图象各有一个交点 因此，的取值范围为.    ……………10分 ⑶设（x>-1）    ……………11分 令 当 则当时，有最大值   …………12分 若在区间内存在，而使得不等式能成立， 则         …………13分 ，的最大值为       ……………14分

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