题目

如图，AB为⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若=，求∠E的度数； （3）连结AD，在（2）的条件下，若CD=2，求AD的长． 答案：证明：（1）连接OC， ∵OC=OB，BC平分∠ABD， ∴∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠DBC， ∴∠DBC=∠OCB， ∴OC∥BD， ∴∠BDC=∠ECO， ∵CD⊥BD， ∴∠BDC=90°， ∴∠ECO=90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）由（1）知， OC∥BD， ∴∠OCF=∠DBF，∠COF=∠BDF， ∴△OCF∽△DBD， ∴， ∵=， ∴， ∵OC∥BD， ∴△EOC∽△EDB， ∴， ∴， 设OE=2a，EB=3a， ∴OB=a， ∴OC=a， ∵∠OCE=90°，OC=OE， ∴∠E=30°； （3）∵∠E=30°，∠BDE=90°，BC平分∠DBE， ∴∠EBD=60°，∠OBC=∠DBC=30°， ∵CD=2， ∴BC=4，BD=6， ∵， ∴OC=4， 作DM⊥AB于点M， ∴∠DBM=90°， ∵BD=6，∠DBM=60°， ∴BM=3，DM=3， ∵OC=4， ∴AB=8， ∴AM=5， ∵∠DMA=90°，DM=3， ∴AD==．

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