题目

已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13. (1)求圆C的标准方程； (2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.问：是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行?如果存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 答案： (1) 设圆C：(x-a)2+y2=r2(a>0)， 由题意知解得或又S=πr2<13，所以a=1， 所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4. (2) 当斜率不存在时，直线l为x=0，不满足题意. 当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又l与圆C相交于不同的两点，联立得 消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， 所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0， 解得k<1-或k>1+. 又x1+x2=-， 所以y1+y2=k(x1+x2)+6=， =+=(x1+x2，y1+y2)，=(1，-3)， 假设∥，则-3(x1+x2)=y1+y2， 解得k=∪，所以假设不成立，所以不存在这样的直线l.

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