题目

 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明AE⊥平面PCD； (3)求二面角A－PD－C的正弦值． 答案： (1)解　在四棱锥P－ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， 故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩CD＝A， 从而AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (2)证明　在四棱锥P－ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD. 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD. (3)解　过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示． 由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM， 则AM⊥PD. 因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角． 由已知，可得∠CAD＝30°. 设AC＝a，可得 所以二面角A－PD－C的正弦值为.

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