题目

已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍． (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率． 答案：解　(1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|. 由此得|4－x|＝2， 化简得＋＝1， 所以，动点M的轨迹方程为 ＋＝1. (2)法一　由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0， 其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0， 解得k2>. 由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，                     ① x1x2＝.                                                  ② 又因A是PB的中点，故x2＝2x1，                               ③ 将③代入①，②，得x1＝－，x＝， 可得＝，且k2>， 解得k＝－或k＝， 所以，直线m的斜率为－或. 法二　由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)， B(x2，y2)． ∵A是PB的中点， ∴x1＝，                                                                                        ① y1＝.                                                                                         ② 又＋＝1，                                                                                 ③ ＋＝1，                                                                                   ④ 联立①，②，③，④解得或 即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以，直线m的斜率为－或.

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