题目

（本小题满分12分） 已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点。    （1）求证：直线MF∥平面ABCD；    （2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；    （3）求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小。 答案：（本小题满分12分）解法一：    （1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN。因为F是BB1的中点，        所以F为C1N的中点，B为CN的中点。        又M是线段AC1的中点，故MF∥AN。        又MF平面ABCD，AN平面ABCD。        ∴MF∥平面ABCD。     （2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1        可知A1A⊥平面ABCD，        又∵BD平面ABCD， ∴A1A⊥BD。        ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD。        又∵AC∩A1A=A，AC，A1A平面ACC1A1。        ∴BD⊥平面ACC1A1。               在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形        故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA平面AFC1        ∴平面AFC1⊥ACC1A1    （3）由（2）知BD⊥ACC1A1，又AC1ACC1A1，        ∴BD⊥AC1，∴BD∥NA，∴AC1⊥NA。        又由BD⊥AC可知NA⊥AC，        ∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角。        在Rt△C1AC中，，           故∠C1AC=30°        ∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°        解法二：        设AC∩BD=0，因为M、O分别为C1A、CA的中点，所以，MO∥C1C，        又由直四棱柱知C1C⊥平面ABCD，所以MO⊥平面ABCD。        在棱形ABCD中，BD⊥AC，所以，OB、OC、OM两两垂直。        故可以O为原点，OB、OC、OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴如图建立空间直角坐        标系        若设|OB|=1，则B（1，0，0），B1（1，0，2），        A（0，，0），C（0，，0），C1（0，，2）。              （1）由F、M分别为B1B、C1A的中点可知：F（1，0，1），        M（0，0，1），所以（1，0，0）=        又不共线，所以，MF∥OB。        ∵MF平面ABCD，OB平面ABCD，        ∴MF∥平面ABCD。     （2）（1，0，0）为平面ACC1A1的法向量。     设为平面AFC1的一个法向量        则        由得        令y=1，得z=，此时                          由于，所以，平面AFC1⊥平面ACC1A1。          （3）为平面ABCD的法向量，设平面AFC1与平面ABCD所成的二面角        的大小为，        则        所以=30°或150°。        即平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°。

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