题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣1,0），（0，﹣3），直线x=1为抛物线的对称轴，点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E． （1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； （2）点P为直线x=1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合），记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为，若，求点P的坐标； （3）点Q是线段BD上的动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△，是否存在点Q使得△与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）由抛物线的对称轴直线x=1，A（﹣1,0）可知B（3，0）， 设抛物线y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣3a，即a=1， ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3，其顶点D坐标为：（1，﹣4）． （2）设，易知直线的解析式为：，令，则，所以， （ⅰ）当在轴的下方时，即，连结， 因为，则， 化简得，，解之得，（舍） 所以的坐标为 （ⅱ）当在轴的上方时，即， 因为，则， 化简得，，解之得，（舍） 所以的坐标为 综上所述，的坐标为或； （3）存在．（ⅰ）如图1所示，交于点，∵， ∴  ，即 ∴ ； （ⅱ）如图2所示，交于点，∵， ∴  ，即，同理 ∴  在中，设，由勾股定理得：，解之得， ∴； （ⅲ）如图3所示，过点作交于点，由（ⅰ）（ⅱ）可知， ∵， ∴  ，即， 综上所述，存在点Q使得△D’EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形，的长度为或或．

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