题目

(本题满分16分)        设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．        (1)若=0，求函数f(x)的单调增区间； (2)求证：当0≤x≤1时，||≤．(注：max{a，b}表示a，b中的最大值) 答案：解：(1)由=0，得a=b． …………………………………………………………1分 故f(x)= ax3－2ax2+ax+c． 由=a(3x2－4x+1)=0，得x1=，x2=1．…………………………………………2分 列表： x (-∞，) (，1) 1 (1，+∞) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-∞，)及(1，+∞) ．…………………………4分 (2)=3ax2-2(a+b)x+b=3． ①当时，则在上是单调函数， 所以≤≤，或≤≤，且+=a>0． 所以||≤．………………………………………………………8分 ②当，即-a＜b＜2a，则≤≤． (i) 当-a＜b≤时，则0＜a+b≤． 所以  ＝＝≥＞0． 所以 ||≤． ……………………………………………………12分 (ii) 当＜b＜2a时，则＜0，即a2+b2－＜0． 所以=＞＞0，即＞． 所以  ||≤． 综上所述：当0≤x≤1时，||≤．……………………………16分

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