题目

 已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论． 答案：解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1. 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝. 故椭圆C的离心率e＝＝. (2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下： 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)， 其中x0≠0. 因为OA⊥OB，所以 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－. 当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程， 得t＝±， 故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝， 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切． 当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝ 即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圆心O到直线AB的距离 又x＋2y＝4，t＝－，故 d＝＝. 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

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