题目

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为, AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于，且＝ （1）求证：平面∥平面； （2）求证：； （3）求四棱锥体积的最大值. 答案：1）证明：∵AE、DF是圆柱的两条母线  ∴ AE∥DF.  ∵平面，平面,∴ AE∥平面 在圆柱中： 上底面//下底面，且上底面∩截面ABCD＝， 下底面∩截面ABCD＝ ∴ // ∵ ＝  ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴ AB∥CD. ∵平面,平面, ∴ AB∥平面. ∵      ∴ 平面∥平面 （2）证明：∵AE、DF是圆柱的两条母线，  四边形平行四边形，  ∥且= ∵ 四边形ABCD为平行四边形    ∥且=  ∥且= 在圆柱底面上因为∥且=         为直径          （3）解法1：作   ∵ 圆柱的母线    垂直于底面 ∴  ∵     ∴ 平面     ∴ ∵       ∴ 平面 设 在Rt△中，   ∴ 在Rt△中，，∴ 由（2）的证明过程可知平面      ∴     ∵ 四边形ABCD为平行四边形  ∴四边形ABCD为矩形 ∴      在Rt△中，      ∵ ∴≤ 当时，即时，四棱锥的体积最大，最大值为 解法2：  设（或设） 在Rt△中，   ∴（，）    ∵ 垂直于底面，设，  ∴  ≤ 当时，即时，四棱锥的体积最大，最大值为  解法3：  设， 在Rt△中，   ∴，   ∵ 垂直于底面， ∴  ==≤ 当，即时，四棱锥的体积最大，最大值为.

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