题目

22.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为. （Ⅰ）证明；（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程. 答案：（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中.由于点在椭圆上，有，即.解得，从而得到.直线的方程为，整理得.由题设，原点到直线的距离为，即，将代入上式并化简得，即.证法二：同证法一，得到点的坐标为.过点作，垂足为，易知，故.由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即.（Ⅱ）解法一：设点的坐标为.当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，.点的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得，于是，.由①式得.由知.将③式和④式代入得，.将代入上式，整理得.当时，直线的方程为，的坐标满足方程组所以，.由知，即，解得.这时，点的坐标仍满足.综上，点的轨迹方程为　.解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为.记（显然），点的坐标满足方程组由①式得.　　　　　　 ③由②式得.　　　④将③式代入④式得.整理得，于是.　　　      ⑤由①式得.　　　       ⑥由②式得.　　   ⑦将⑥式代入⑦式得，整理得，于是.　　　        ⑧由知.将⑤式和⑧式代入得，.将代入上式，得.所以，点的轨迹方程为.

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