题目

已知顶点为原点O的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合 与在第一和第四象限的交点分别为A、B． (1) 若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程； (2)若，求椭圆的离心率； (3) 点为椭圆上的任一点，若直线、分别与轴交于点和，证明： ． 答案： 解：（1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为  ∵△是边长为的正三角形， ∴点A的坐标是，                                       代入抛物线的方程解得， 故所求抛物线的方程为                                   （2）∵, ∴ 点的横坐标是 代入椭圆方程解得，即点的坐标是              ∵ 点在抛物线上， ∴，                                    将代入上式整理得：， 即，解得                              ∵ ，故所求椭圆的离心率。              （3）证明：设，代入椭圆方程得                                       而直线的方程为        令得。                                 在中，以代换得          ∴                            …

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