题目

如图，在梯形中，，，，，    ，是腰上一个动点（不含点），作交于点（图）（1）求的长与梯形的面积；（2）当时，求的长；（图） 答案：解：（1）如图过B点作BECD，垂足为E 在RtBEC中，BEC=90度， tanC=，AD=BE=4  ∴ tanC=，CE=3 由勾股定理可得BC=5 AB=DE=2　　　 ∴CD=5 ∴ S梯形ABCD= （2） 解法一：如图过点P作PNCD，交CD于点N，交AB 的延长线于M 已知条件可知点P是点D沿AQ翻折而得到的，推得AP=4   梯形ABCD  ∴AB∥CD ∴∠MBP=∠C 在RtBMP中，∠BMP=90度，BP=x ,tan∠BMP=tan∠C= 可推得MP=，BM= 在RtAMP中，利用勾股定理可推得  即 整理方程得  解之满足条件的。 解法二： 解：过点Q作QHBC,垂足为H，过点A 作AGBC,交BC的延长线于点G. 由题意可知：AP=4 ∵梯形ABCD ∴AB∥CD  ∴∠ABG=∠C ∵AB=2,tan∠ABG＝tan∠C=  ∴可通过解直角三角形得AG= BG= 在RtAPG中，利用勾股定理可得 即 化简得，以下解法同上。 解法三： 解：如图延长AP与DC相交于点F，可推得AP=4 由已知可得AB=2，BP=x，CP=5－x 利用相似三角形的知识或平行线截线段成比例 定理可得 在RtADF中，∠D=90度， 即。 化简得，以下解法同解法一、二。

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