题目

（本小题满分14分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物 线的焦点. （Ⅰ）求椭圆的方程； (Ⅱ)是椭圆上两点，、是椭圆位于直线两侧的两动点， （i）若直线的斜率为求四边形面积的最大值； （ii）当、运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由. 答案：（本小题满分14分） (Ⅰ）设方程为，则. 由，得 ∴椭圆C的方程为.           …………………………………………4分 (Ⅱ)（i）解：设，直线的方程为， 代入，得        由，解得                     …………………………………………6分 由韦达定理得. 四边形的面积 ∴当，.                    …………………………………………8分 (Ⅱ) （ii）解：当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为 则的斜率为，的直线方程为 由 （1）代入（2）整理得                                    …………………………………………10分 同理的直线方程为，可得 ∴                    …………………………………………12分 所以的斜率为定值.                                …………………………………………14分

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