题目

已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a. (1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围； (2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围． 答案：已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a. (1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围； (2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围． 解析：(1)由f(x)≥h(x)，得m≤在(1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝，则g′(x)＝， 当x∈(1，e)时，g′(x)＜0； 当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0， 所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增． 故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e. 所以m≤e. 即m的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k(x)＝x－2lnx－a. 函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点． φ′(x)＝1－＝， 当x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减， 当x∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增． 又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln2，φ(3)＝3－2ln3， 要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2lnx有两个交点，则2－2ln2＜a＜3－2ln3. 即实数a的取值范围是(2－2ln2,3－2ln3)．  

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