题目

22.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）（a≠0）.（1）当a=1，b=－2时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值. 答案：22.解：（1）当a=1，b=－2时，f（x）=x2－x－3.由题意可知x=x2－x－3，得x1=－1，x2=3.故当a=1，b=－2时，f（x）的两个不动点为－1、3. （2）∵f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）（a≠0）恒有两个不动点，∴x=ax2+（b+1）x+（b－1），即ax2+bx+（b－1）=0恒有两个相异的实数根，得Δ=b2－4ab+4a＞0（b∈R）恒成立.于是Δ′=（4a）2－16a＜0，解得0＜a＜1.故当b∈R，f（x）恒有两个相互的不动点时，a的取值范围为0＜a＜1. （3）由题意，A、B两点应在直线y=x上.设A（x1，x1）、B（x2，x2）.∵点A、B关于直线y=kx+对称，∴k=－1设AB的中点为M（x′，y′）∵x1、x2是方程ax2+bx+（b－1）=0的两个根，∴x′=y′==－.于是，由M在直线y=－x+上，得－=+，即b=－=－.∵a＞0，∴2a+≥2，当且仅当2a=，即a=∈（0，1）时取等号.故b≥－，得b的最小值为－.

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