题目

．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC1的中点． （1）证明：BF∥平面ECD1； （2）求二面角D1﹣EC﹣D的余弦值． 　 答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）取CD1中点G，连结FG，由已知推导出四边形FGEB为平行四边形，由此能证明BF∥平面ECD1． （2）连结DE，E为AB的中点，DE⊥EC，DD1⊥EC，由已知得∠DED1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，由此能求出二面角D1﹣EC﹣D的余弦值． 【解答】（1）证明：取CD1中点G，连结FG． ∵F为CC1的中点D1，∴且FG∥C1D1， ∵AB=C1D1且AB∥C1D1，∴且FG∥BE， ∴四边形FGEB为平行四边形∴BF∥GE，…（4分） ∵GE⊂平面ECD1，BF⊄平面ECD1， ∴BF∥平面ECD1．…（7分） （2）解：连结DE， ∵AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，∴DE⊥EC，…（9分） ∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥EC， 又DD1∩DE=D，DD1⊂平面EDD1， DE⊂平面EDD1∴CE⊥平面EDD1，∴CE⊥ED1，…（11分） ∴∠DED1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．…（12分） Rt△ADE中， ∴Rt△D1DE中，， ∴．…（14分） 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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