题目

如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC; (Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值. 答案： (I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC. 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB.  由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.    如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面A1BC1的法向量为,则,即, 令,则,,所以. 同理可得,平面BCC1的法向量为,所以.  由题知二面角A1-BC1-C为钝角,所以二面角A1-BC1-C的余弦值为. (III)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,,. 所以.  由,即.解得. 因为,所以在线段BC1上存在点D, 使得AD⊥A1B. 此时,.

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