题目

圆上一点A(4，6)作圆的一条动弦AB，点P为弦AB的中点. （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点P关于点D(9，0)的对称点为E，O为坐标原点，将线段OP绕原点O依逆时针方向旋转90°后，所得线段为OF，求|EF|的取值范围. 答案：（1）(x≠4，y≠6)（2） 解析:（Ⅰ）连结PC，由垂径分弦定理知，PC⊥AB，所以点P的轨迹是以线段AC为直径的圆(除去点A).                                                                     因为点A(4，6)，C(6，4)，则其中点坐标为(5，5)，又圆半径. 故点P的轨迹方程是(x≠4，y≠6).                         （Ⅱ）因为点P、E关于点D(9，0)对称，设点，则点.          设点，因为线段OF由OP绕原点逆时针旋转得到， 则OF⊥OP，且|OF|＝|OP|，即 ，且. 由，得.令， 则，所以t＝1. 因此点F的坐标为.                                        所以. 设点M(9，－9)，则.                                         因为点P为圆上的点，设圆心为N(5，5)，则 ， .                                           故|EF|的取值范围是.                                  

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