题目

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）． （1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点； （2）若AB=2，求此抛物线的解析式． （3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围． 答案：【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式． 【专题】计算题． 【分析】（1）证明△＞0即可； （2）利用抛物线与x轴的交点问题，则x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的两根，利用根与系数的关系得到x1+x2=8，x1•x2=，再变形|x1﹣x2|=2得到（x1+x2）2﹣4x1•x2=4，所以82﹣4•=4，然后解出m即可得到抛物线解析式； （3）先求出抛物线的对称轴为直线x=4，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，于是得到4m﹣16m+16m﹣1≥0，然后解不等式即可． 【解答】（1）证明：△=64m2﹣4m•（16m﹣1） =4m， ∵m＞0， ∴△＞0， ∴抛物线总与x轴有两个不同的交点； （2）根据题意，x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的两根， ∴x1+x2=﹣=8，x1•x2=， ∵|x1﹣x2|=2， ∴（x1+x2）2﹣4x1•x2=4， ∴82﹣4•=4， ∴m=1， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣8x+15； （3）抛物线的对称轴为直线x=﹣=4， ∵抛物线开口向上， ∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点， ∴4m﹣16m+16m﹣1≥0， ∴m≥． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系． 　

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