题目

（09年长沙一中第八次月考理）(13分)已知直线L：x-y-3=0，抛物线C的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，S是抛物线C上任意一点，T是直线L上任意一点，若|ST|的最小值为d>0时,点S的横坐标为2. （1）求抛物线方程以及d的值；（2）过抛物线C的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.设点分有向线段所成的比为，证明：；（3）设R为抛物线准线上任意一点，过R作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，直线MN是否恒过一定点？若恒过定点，请指出定点；若不恒过定点，请说明理由。 答案：解析：（1）设抛物线方程为，由 ∴，∴抛物线方程为；…………5分（2）依题意，可设直线的方程为 代入抛物线方程得         ①设两点的坐标分别是 、、是方程①的两根.…………6分所以                                                   由点分有向线段所成的比为，得又点与点关于原点对称，故点的坐标是，从而.  ……7分版权所有 所以    …………9分（3）设，，，∵，∴的方程为；∵过，∴，同理∴为方程的两个根；∴；……11分又，∴的方程为∴，显然直线过点……13分

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