题目

以椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程； (Ⅱ)过原点且斜率不为0的直线与椭圆C交于P,Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线AP,AQ分别与y轴交于点M,N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由. 答案：方法一： 解：（Ⅰ）依题意，得                                  …………3分 解得故椭圆的标准方程为.             …………5分 （Ⅱ），设，，， 则由题意，可得，　……（*）且，       ，.                       …………6分 因为三点共线，所以， 故有，解得.                …………7分 同理，可得.                                   …………8分 假设存在满足题意的轴上的定点，则有，即.……9分 因为，， 所以，即，整理，得，……10分 又由（*），得，所以，解得或.      故以为直径的圆恒过轴上的定点，.            …………12分 方法二： 解：（Ⅰ）同方法一； （Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，有，，，，此时以为直径的圆经过轴上的点和；                           …………6分 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，解得，.…7分 设，，         又直线的斜率，直线的斜率， 因为三点共线，所以，解得得，     …………8分 同理，可得，                                  …………9分 假设存在满足题意的轴上的定点，则有，       …………10分 直线的斜率，直线的斜率， 所以，故有，即， 整理，得，解得或， 综合①②，可知以为直径的圆恒过轴上的定点，.  ………12分

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