题目

已知：∥∥∥，平行线与、与、与之间的距离分别为1、2、3，且1 =3 = 1，2 = 2 . 我们把四个顶点分别在、、、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.  【探究1】 ⑴ 如图1，正方形为“格线四边形”，于点,的反向延长线交直线于点.  求正方形的边长.  【探究2】 ⑵ 矩形为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形的宽为_____. (直接写出结果即可)  【探究3】 ⑶ 如图2，菱形为“格线四边形”且∠=60°，△是等边三角形，                  于点， ∠=90°，直线分别交直线、于点、.   求证：.  【拓 展】  ⑷ 如图3，∥，等边三角形的顶点、分别落在直线、上，于点，                  且=4 ，∠=90°，直线分别交直线、于点、，点、分别是线段、上的动点，且始终保持=，于点.               猜想：在什么范围内，∥？并说明此时∥的理由.                       答案：解析：(1) 如图1， ∵BE⊥l ,  l ∥k  ,                    ∴∠AEB=∠BFC=90°,                           又四边形ABCD是正方形，                    ∴∠1+∠2=90°，AB=BC,                                    ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,                    ∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),                    ∴AE=BF=1 , ∵BE=d1+d2=3 ,   ∴AB= ,                          ∴正方形的边长是 .       (2)如图2,3，⊿ABE∽⊿BCF,                   ∴ 或                                                     ∵BF=d3=1 ,                   ∴AE= 或                   ∴AB= 或                     AB=                          ∴矩形ABCD的宽为或.                       (注意：要分2种情况讨论）       (3)如图4，连接AC，                 ∵四边形ABCD是菱形，                 ∴AD=DC,                 又∠ADC=60°,     ∴⊿ADC是等边三角形， ∴AD=AC，                 ∵AE⊥k , ∠AFD=90°,  ∴∠AEC=∠AFD=90°，                 ∵⊿AEF是等边三角形， ∴ AF=AE,                 ∴⊿AFD≌⊿AEC(HL),   ∴EC=DF.       (4)如图5，当2＜DH＜4时， BC∥DE .                  理由如下：                   连接AM,                  ∵AB⊥k  , ∠ACD=90°,                  ∴∠ABE=∠ACD=90°,                  ∵⊿ABC是等边三角形， ∴AB=AC ,                  已知AE=AD,  ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD；                  在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，                    ，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),                  ∴ BM=CM ；                  ∴ME=MD,                  ∴ ,  ∴ED∥BC.

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