题目

已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An－2An－1的中点，…， (1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)； (2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明． 答案： 由此推测an＝(－)n－1a(n∈N*)． 证法1：因为a1＝a>0，且 an＝xn＋1－xn＝－xn＝＝－(xn－xn－1)＝－an－1(n≥2)， 所以an＝(－)n－1a. 证法2：用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－)0a，公式成立． (2)假设当n＝k时，公式成立，即ak＝(－)k－1a成立．那么当n＝k＋1时， ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1＝－(xk＋1－xk)＝－ak＝－(－)k－1a＝(－)(k＋1)－1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N*，公式an＝(－)n－1a成立．

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