题目

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM． （1）求证：∠ACM=∠ABC； （2）延长BC到D，使BC = CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED = 2, 求∆ACE的外接圆的半径． 答案：证明：（1）连接OC ∵ AB为⊙O的直径 ∴ ∠ACB = 90° ∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90°[来源:] 又∵ CM是⊙O的切线 ∴ OC⊥CM ∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90°    ∵ CO = AO ∴ ∠BAC =∠ACO ∴ ∠ACM =∠ABC （2）∵ BC = CD ∴ OC∥AD 又∵ OC⊥CE ∴ AD⊥CE ∴ ΔAEC是直角三角形 ∴ ΔAEC的外接圆的直径为AC 又∵ ∠ABC ＋∠BAC = 90° ∠ACM ＋∠ECD = 90° 而∠ABC =∠ACM ∴ ∠BAC =∠ECD 又∠CED =∠ACB = 90° ∴ ΔABC∽ΔCDE ∴ = 而⊙O的半径为3 ∴ AB = 6 ∴ = ∴ BC2 = 12 ∴ BC = 2在RtΔABC中 ∴ AC = = 2 ∴ ΔAEC的外接圆的半径为

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