题目

已知：抛物线（a≠0），顶点C （1，），与x轴交于A、B两点，． （1）求这条抛物线的解析式． （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点（P与A、B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G（F与A、E不重合，G与E、B不重合），请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 答案： 解：（1）设抛物线的解析式为 将A（－1，0）代入:       ∴    ∴ 抛物线的解析式为，即： （2）是定值，  ∵ AB为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE ∴ △APM∽△ABE，∴  ① 同理:   ②  ① + ②: （3）∵ 直线EC为抛物线对称轴，∴ EC垂直平分AB ∴ EA=EB ∵ ∠AEB=90° ∴ △AEB为等腰直角三角形． ∴ ∠EAB=∠EBA=45° 如图，过点P作PH⊥BE于H， 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形， ∴PH=ME且PH∥ME 在△APM和△PBH中 ∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45° ∴ PH=BH 且△APM∽△PBH ∴ ∴ 　① 在△MEP和△EGF中， ∵ PE⊥FG，  ∴ ∠FGE+∠SEG=90° ∵∠MEP+∠SEG=90°  ∴ ∠FGE=∠MEP ∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF ∴ 　　　　② 由①、②知：

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