题目

已知椭圆C:=1(a＞b＞0)过点(1,),且离心率e=.(1)求椭圆方程；(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(,0),求k的取值范围. 答案：解:(1)由题意椭圆的离心率e=.∴=.∴a=2c.∴b2=a2-c2=3c2.∴椭圆方程为=1. 又点(1,)在椭圆上,∴+=1.∴c2=1.∴椭圆的方程为+=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y并整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. ∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点,Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)＞0,即m2＜4k2+3. 又x1+x2=,∴MN中点P的坐标为(,).设MN的垂直平分线l′方程:y=(x),∵P在l′上,∴=(),即4k2+8km+3=0.∴m=(4k2+3). 将上式代入得＜4k2+3,∴k2＞,即k＞或k＜.∴k的取值范围为(-∞,)∪(,+∞).

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